Menentukan Akar - Akar Persamaan Kuadrat (PK)

Pengertian akar - akar PK

         Blog Koma - Persamaan Kuadrat (PK) $ax^2 + bx + c = 0 \,$ memiliki variabel/peubah $x \,$ (nilai $x \,$ bisa diganti atau disubstitusikan dengan sembarang nilai), nilai $x \,$ yang menyebabkan nilai dari PK $ax^2 + bx + c \,$ sama dengan nol disebut sebagai akar-akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan $x \,$ merupakan suatu bilangan real. Setiap persamaan kuadrat biasanya memiliki akar paling banyak dua (karena pangkat dua), ini artinya persamaan kuadrat juga bisa saja tidak memiliki akar (maksudnya akar-akarnya tidak real).

Contoh 1.

PK : $x^2 -3x-10=0 \,$ memiliki akar-akar $x = -2 \,$ dan $x = 5 \,$, karena kedua nilai $x \,$ tersebut menyebabkan nilai dari $x^2 -3x-10 \,$ sama dengan nol. Cekla kebenarannya!

Penyelesaian :
Untuk mengetahui kebenarannya, langsung saja kita substitusikan nilai $x = -2 \,$ dan $x = 5 \,$ ke PK nya :
$\begin{align} x=-2 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (-2)^2 -3.(-2)-10 \\ & = 4 + 6 - 10 \\ & = 0 \\ x=5 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (5)^2 -3.5-10 \\ & = 25 -15- 10 \\ & = 0 \end{align}$
Setelah kita substitusikan nilai $x = -2 \,$ dan $x = 5 \,$ , ternyata hasilnya benar sama dengan nol, artinya kedua nilai $x \,$ tersebut adalah benar akar-akar dari PK $x^2 -3x-10=0$ .

Contoh 2.

Apakah $x = 1 \,$ merupakan akar-akar dari PK $x^2 -3x-10=0 \,$ ?

Penyelesaian :
Langsung kita substitusi nilai $x = 1 \,$ ke PK nya
$\begin{align} x=1 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (1)^2 -3.1-10 \\ & = 1-3 - 10 \\ & = -12 \\ \end{align}$
Setelah disubstitusi nilai $x = 1 \,$ ke PKnya, ternyata hasilnya tidak nol, itu artinya $x = 1 \,$ bukan akar dari PK $x^2 -3x-10=0$ .

         Bagaimana sobat, sudah mengertikan apa itu yang dimaksud dengan akar-akar atau penyelesaian dari suatu persamaan? Mudah-mudahan sudah ya sobat. Selanjutnya kita akan membahas tentang cara menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat.

Menentukan akar - akar PK

         Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, kita tidak mungkin akan mensubstitusikan satu-satu nilai $x \,$ sehingga diperoleh sama dengan nol.
Ada tiga cara menentukan akar-akar suatu PK yaitu :
1). Pemfaktoran
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3). Rumus ABC

1). Pemfaktoran

Dalam pemfaktoran digunakan sifat perkalian berikut :

Jika $ab=0 \,$ , maka $a = 0 \,$ atau $b = 0$

Untuk teknik pemfaktoran PK $ax^2 +bx + c = 0 \,$ dibagi menjadi dua berdasarkan nilai $a \,$ yaitu nilai $a = 1 \,$ dan $a \neq 1$

(i). Kasus pertama : nilai $a = 1$

PK $ax^2 +bx + c = 0 \,$ dapat difaktorkan menjadi $(x+p)(x+q) = 0 \,$ dengan syarat $p \,$ dan $q \,$ memenuhi : $p + q = b \,$ dan $p.q = c$

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $x^2-2x-8=0 \,$ ?

Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $x^2-2x-8=0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = -8$
$\left. \begin{array}{c} p+q = -2 \\ p.q = -8 \end{array} \right\} \, p=2 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = -4$
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $(x+p)(x+q) = 0$
$\begin{align} x^2-2x-8 & = 0 \\ (x+p)(x+q) & = 0 \\ (x+2)(x+(-4)) & = 0 \\ (x+2)(x-4) & = 0 \\ (x+2)=0 \rightarrow x & = -2 \\ (x-4) = 0 \rightarrow x & = 4 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $x = -2 \,$ atau $x = 4 \heartsuit$

(ii). Kasus kedua : nilai $a \neq 1$

*). PK $ax^2 +bx + c = 0 \,$ dapat difaktorkan menjadi $a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 \,$ dengan syarat $p \,$ dan $q \,$ memenuhi : $p + q = b \,$ dan $p.q = ac$
atau cara yang kedua (caranya hampir mirip) :
**). PK $ax^2 +bx + c = 0 \,$ dapat difaktorkan menjadi $(ax+p)(x+q) = 0 \,$ dengan syarat $p \,$ dan $q \,$ memenuhi : $p + aq = b \,$ dan $p.q = c$

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $2x^2 - x -10 =0 \,$ ?

Penyelesaian : cara I :
$\spadesuit \,$ PK $2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10$
$\left. \begin{array}{c} p+q = -1 \\ p.q = 2.(-10) = -20 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 4$
$\spadesuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0$
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) & = 0 \\ 2(x+\frac{-5}{2})(x+\frac{4}{2}) & = 0 \\ 2(x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5})=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $x = \frac{5}{2} \,$ atau $x = -2 \heartsuit$

Penyelesaian : cara II:
$\spadesuit \,$ PK $2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10$
$\left. \begin{array}{c} p+aq = -1 \rightarrow p+2q=-1 \\ p.q = -10 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 2$
$\spadesuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $(ax+p)(x+q) = 0$
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ (ax+p)(x+q) & = 0 \\ (2x-5)(x+2) & = 0 \\ (2x-5)=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $x = \frac{5}{2} \,$ atau $x = -2 \heartsuit$

2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna artinya mengubah bentuk $ax^2 + bx + c = 0 \,$ menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu $(x+p)^2 = q \,$ dengan $q \geq 0$ . Cara ini dipakai bila persamaan kuadrat sulit difaktorkan.
Sifat yang digunakan :

$x^2+px=(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \,$ dan $x^2-px=(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2$

catatan : Nilai $a \,$ harus dibuat sama dengan 1 terlebih dulu dengan cara dibagi.

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $3x^2-6x+1=0 \,$ ?

Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $3x^2-6x+1=0 \rightarrow a = 3 , \, b = -6, \, c = 1$
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $(x+p)(x+q) = 0$
$\begin{align} 3x^2-6x+1 & =0 \, \, \, \, \text{(pindahkan c = 1 ke ruas kanan)} \\ 3x^2-6x & = -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3 agar a = 1 )} \\ x^2-2x & = \frac{-1}{3} \\ & \left[ \text{gunakan } x^2-px =(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \right] \\ (x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - (1)^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - 1 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 & = \frac{-1}{3} + 1 \\ (x-1)^2 & = \frac{2}{3} \\ (x-1) & = \pm \sqrt{\frac{2}{3} } \\ x & = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3} } = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $x = 1 + \frac{1}{3}\sqrt{6} \,$ atau $x = 1 - \frac{1}{3}\sqrt{6} \heartsuit$

3). Rumus ABC

Penyelesaian PK $ax^2 +bx + c = 0 \,$ dapat diselesaikan dengan rumus ABC :

Rumus ABC : $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Rumus ABC ini dapat digunakan untuk semua jenis pertidaksamaan yang akar-akarnya real.
Catatan : nilai $D = b^2-4ac \,$ disebut nilai Diskriminan ($D$) dari PK $ax^2 +bx + c = 0 \,$ yang digunakan untuk menentukan jenis-jenis akarnya.
Untuk pembuktian rumus ABC ini, dapat menggunakan cara kedua yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Jika sobat tertarik untuk melihat pembuktiannya, silahkan klik link ini : Cara pembuktian Rumus ABC dengan kuadrat sempurna.

Contoh

Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $2x^2 - 5x -1 =0 \,$ ?

Penyelesaian :
$\spadesuit \,$ PK $2x^2 - 5x -1 =0 \rightarrow a = 2, \, b = -5, \, c = -1$
$\spadesuit \,$ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4.2.(-1)}}{2.2} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} \\ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, \text{ atau } \, & \, \, x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \,$ atau $x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \heartsuit$

         Akar-akar persamaan kuadrat sangat penting dalam materi persamaan kuadrat karena setelah kita mengenal bentuk umum persamaan kuadrat maka kita akan melanjutkan dengan menentukan akar-akarnya. Biasanya akar-akar yang dipelajari adalah sebatas akar-akar bilangan real untuk tingkat SMP dan SMA, semetara akar-akar tidak real (imajiner) hanya sebatas syaratnya saja (tidak sampai menentukan akar-akar imajinernya).

         Tapi kita tidak cukup hanya tahu tentang cara menetukan akar-akarnya, karena terkadang soal-soal tertentu sudah diketahui operasi akar-akarnya dan sudah diketahui jenis-jenis akarnya. Artinya tidak cukup bagi kita hanya sebatas bisa mencari akar-akarnya saja, tapi harus lebih dari itu.