Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

         Blog Koma - Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) adalah kumpulan persamaan linear yang mempunyai solusi (atau tidak mempunyai solusi) yang sama untuk semua persamaan yang terdiri dari tiga variabel. Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel ini, ada beberapa cara yaitu metode eliminasi, metode substitusi, dan metode gabungan (eliminasi dan substitusi). Namun kali ini kita hanya membahas metode gabungan saja, karena akan lebih efektif dalam penyelesaiannya. Sebelumnya juga telah kita bahas tentang sistem persamaan linear dua variabel, silahkan baca artikelnya "sistem persamaan linear dua variabel".

 

Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

       Adapun bentuk umum sistem persamaan linear tiga variabel dengan variabel $x , \, y, \,$ dan $z$
                     SPLTV : $\left\{ \begin{array}{c} a_1x+b_1y+c_1z = d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z = d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z = d_3 \end{array} \right.$
Keterangan :
*). Variabelnya $x, \, y, \,$ dan $y$
*). Koefisiennya $a_1,b_1,c_1,a_2,b_2,c_2,a_3,b_3,c_3 \in R$
*). Konstantanya $d_1,d_2,d_3 \in R$

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

       Cara terbaik menyelesaikan SPLTV dengan metode Eliminasi-Substitusi (gabungan).
       Langkah-langkah menyelesaikan SPLTV dengan metode gabungan:
$\clubsuit \,$ Eliminasi variabel pertama dengan memasang-masangkan dua persamaan dari ketiga persamaan sehingga diperoleh SPL baru yang sederhana.
$\clubsuit \,$ Dari SPL baru, eliminasi lagi sehingga diperoleh nilai dari salah satu variabel yang ada.
$\clubsuit \,$ Dari nilai variabel yang telah ada, substitusikan ke persamaan sebelumnya untuk memperoleh nilai variabel yang lainnya.

Contoh
1). Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel,
$\left\{ \begin{array}{c} x - y + 2z = 4 \\ 2x + 2y - z = 2 \\ 3x + y + 2z = 8 \end{array} \right.$
Mempunyai penyelesaian $\{(x,y,z)\} \,$ , maka nilai $x + y - z = ... ?$
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Eliminasi variabel $y \,$ dari :
*).pers(i) dan pers(ii) :
$\begin{array}{c|c|cc} x - y + 2z = 4 & \text{kali 2} & 2x - 2y + 4z = 8 & \\ 2x + 2y - z = 2 & \text{kali 1} & 2x + 2y - z = 2 & + \\ \hline & & 4x + 3z = 10 & \end{array}$
Hasilnya kita sebut sebagai pers(iv) : $4x + 3z = 10$
*). pers(i) dan pers(iii) :
$\begin{array}{cc} x - y + 2z = 4 & \\ 3x + y + 2z = 8 & + \\ \hline 4x + 4z = 12 & \end{array}$
Hasilnya kita sebut sebagai pers(v) : $4x + 4z = 12$
Tebentuklah SPL baru : $\left\{ \begin{array}{c} 4x + 3z = 10 \\ 4x + 4z = 12 \end{array} \right.$
$\spadesuit$ Eliminasi variabel $x \,$ dari pers(iv) dan pers(v)
$\begin{array}{cc} 4x + 3z = 10 & \\ 4x + 4z = 12 & - \\ \hline -z = -2 & \\ z = 2 & \end{array}$
$\spadesuit$ Substitusi $z = 2 \,$ ke pers(iv)
$4x + 3z = 10 \rightarrow 4x + 3.2 = 10 \rightarrow 4x = 4 \rightarrow x = 1$
$\spadesuit$ Substitusi $z = 2 \,$ dan $x = 1 \,$ ke pers(i)
$x - y + 2z = 4 \rightarrow 1 - y + 2.2 = 4 \rightarrow y = 1$
Sehingga nilai $x + y - z = 1 + 1 - 2 = 0$
Jadi, nilai $x + y - z = 0 . \heartsuit$

2). Jika $(a, b, c)$ merupakan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $x + 2y + 3z = 4, \, 2x + y + z = 6, \,$ dan $3x + 3y + 2z = 8, \,$ maka nilai $a + b + c = ... ?$
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Terkadang soal-soal SPL tidak harus dicari semua nilai variabelnya, bisa langsung dijumlah, dikurangkan, atau dikalikan dari persamaan yang ada sehingga hasilnya sama dengan pertanyaan yang diminta.
$\begin{array}{cc} x + 2y + 3z = 4 & \\ 2x + y + z = 6 & \\ 3x + 3y + 2z = 8 & + \\ \hline 6x + 6y + 6z = 18 & \\ x + y + z = 3 & \end{array}$
Jadi, nilai $a + b + c = 3 . \heartsuit$

3). Jika $(x,y,z)$ memenuhi sistem persamaan (SP)
$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5}, \, \frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3}, \,$ dan $\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4}, \,$
maka nilai $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = ...?$
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Sederhanakan semua bentuk persamaan yang ada dengan cara dibalik.
$\frac{xy}{x+y} = \frac{1}{5} \rightarrow \frac{x+y}{xy} = \frac{5}{1} \rightarrow \frac{x}{xy} + \frac{y}{xy} = 5 \rightarrow \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5$
$\frac{xz}{x+z} = \frac{1}{3} \rightarrow \frac{x+z}{xz} = \frac{3}{1} \rightarrow \frac{x}{xz} + \frac{z}{xz} = 3 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3$
$\frac{yz}{y+z} = \frac{1}{4} \rightarrow \frac{y+z}{yz} = \frac{4}{1} \rightarrow \frac{y}{yz} + \frac{z}{yz} = 4 \rightarrow \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4$
$\spadesuit$ Misalkan $p = \frac{1}{x}, \, q = \frac{1}{y}, \,$ dan $r = \frac{1}{z}$
Sistem menjadi :
$\frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 \rightarrow p + q = 5 \rightarrow p = 5 - q$
$\frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 \rightarrow p + r = 3$
$\frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 \rightarrow q + r = 4 \rightarrow r = 4 - q$
$\spadesuit$ Substitusi $p = 5 - q \,$ dan $r = 4 - q \,$ ke pers(ii)
$p + r = 3 \rightarrow (5-q) + (4-q) = 3 \rightarrow 9-2q = 3 \rightarrow q = 3$
$q = 3 \rightarrow p = 5 - q = 5 - 3 = 2$
$q = 3 \rightarrow r = 4 - q = 4 - 3 = 1$
Sehingga nilai $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = p + q + r = 2 + 3 + 1 = 6$
Jadi, nilai $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit$

Cara II : Sistem baru yang terbentuk langsung dijumlahkan.
$\begin{array}{cc} \frac{1}{y} + \frac{1}{x} = 5 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{x} = 3 & \\ \frac{1}{z} + \frac{1}{y} = 4 & + \\ \hline 2\left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} \right) = 12 & \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 & \end{array}$
Jadi, nilai $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 6 . \heartsuit$

4). Diketahui SPLTV : $\left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & ...\text{(i)} \\ x + 2y + z = 4 & ...\text{(ii)} \\ x + y + z = 3 & ...\text{(iii)} \end{array} \right.$
mempunyai penyelesaian $\{(a,b,c)\} \,$ , hubungan antara $a \,$ dan $c$ adalah ... ?
Penyelesaian :
$\clubsuit$ Eliminasi variabel $y$ dari pers(i) dan pers(iii)
$\begin{array}{cc} 2x + y + 2z = 5 & \\ x + y + z = 3 & - \\ \hline x + z = 2 & \end{array}$
artinya $x + y = 2 \rightarrow a + c = 2$
Jadi, hubungan antara $a \,$ dan $c \,$ adalah $a + c = 2 . \heartsuit$
Catatan: untuk memperoleh hubungan $a \,$ dan $c \,$ , cukup kita eliminasi variabel $y$ dari persamaan yang ada.

5). Agar SPLTV : $\left\{ \begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & ...\text{(i)} \\ ay + z = 3 & ...\text{(ii)} \\ x + ay + az = 8 & ...\text{(iii)} \\ x + y + z = 7 & ...\text{(iv)} \end{array} \right.$
mempunyai solusi, tentukan nilai $a^2 + 2a + 3$
Penyelesaian :
$\spadesuit$ Jumlahkan pers(i), (ii), dan (iii) :
$\begin{array}{cc} 2ax + y + az = 10 & \\ ay + z = 3 & \\ x + ay + az = 8 & + \\ \hline (2a+1)x + (2a+1)y+ (2a+1)z = 21 & \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} & \end{array}$
terbentuklah pers(v) : $x + y + z = \frac{21}{2a+1}$
$\spadesuit$ Bentuk pers(iv) dan pers(v) harus sama, diperoleh
$\left. \begin{array}{c} x + y + z = 7 \\ x + y + z = \frac{21}{2a+1} \end{array} \right\} \,$ Sama
Sehingga : $\frac{21}{2a+1} = 7 \rightarrow 2a + 1 = 3 \rightarrow a = 1$
Nilai $a^2 + 2a + 3 = 1^2 + 2.1 + 3 = 1 + 2 + 3 = 6$
Jadi, nilai $a^2 + 2a + 3 = 6. \heartsuit$

6). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$\left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x - y - 4z = 5 \end{array} \right.$
dengan $x, y , z$ anggota bilangan real.
Penyelesaian :
*). Dari soal ini, terdapat tiga variabel yaitu $x , y,$ dan $z$ serta hanya dua persamaan. Karena banyaknya persamaan lebih sedikit dibandingkan dengan banyaknya variabel, maka sistem persamaan ini memiliki penyelesaian sebanyak tak hingga.
*). Kita misalkan salah satu variabelnya bernilai $t$ yaitu untuk $z = t$, maka sistem persamaannya dapat kita ubah menjadi :
$2x + y + z = 4 \rightarrow 2x + y + t = 4 \rightarrow 2x + y = 4 - t$
$x - y - 4z = 5 \rightarrow x - y - 4t = 5 \rightarrow x - y = 5 + 4t$
Sistemnya menjadi :
$\left\{ \begin{array}{cc} 2x + y = 4 - t \\ x - y = 5 + 4t \end{array} \right.$
dengan $t$ anggota bilangan real.
(kita bebas memisalkan salah satu variabelnya dengan $t$, di sini kita misalkan $z = t$).
*). Dari sistem persamaan baru ini memiliki arti bahwa penyelesaian sistem persamaannya adalah dalam bentuk $t$.
*). Menyelesaikan sistem persamaan yang baru.
$\begin{array}{cc} 2x + y = 4 - t & \\ x - y = 5 + 4t & + \\ \hline 3x = 9 + 3t & \\ x = 3 + t & \end{array}$
Persamaan (i) :
$2x + y = 4 - t \rightarrow 2(3 + t) + y = 4 - t \rightarrow y = -2 - 3t$.
*). Kita peroleh penyelesaian sistem persamaannya yaitu :
$(x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t )$
dengan $t$ anggota bilangan real.
*). Sebagai contoh, kita ambil nilai $t = 1$ , maka kita peroleh :
$(x,y,z) = (4, -5, 1)$
Dan masih banyak lagi nilai $t$ yang lainnya.

7). Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan
$\left\{ \begin{array}{cc} 2x + y + z = 4 \\ x - y - 4z = 5 \end{array} \right.$
dengan $x, y , z$ anggota bilangan bulat positif.
Penyelesaian :
*). Soal ini memiliki sistem persamaan yang sama dengan contoh soal nomor 6 di atas, hanya saja penyelesaiannya dalam bentuk bilangan bulat positif. Untuk menyelesaikannya, langkah-langkahnya sama dengan penyelesaian contoh 6 di atas. Kita peroleh penyelesaiannya yaitu :
$(x,y,z ) = (3+t, -2-3t,t )$
*). Karena $x, y , z$ anggota bilangan bulat positif, maka :
$x > 0 \rightarrow 3 + t > 0 \rightarrow t > -3$
$y > 0 \rightarrow -2-3t > 0 \rightarrow -3t > 2 \rightarrow t < -\frac{2}{3}$
$z > 0 \rightarrow t > 0$
Dari ketiga bentuk pertidaksamaan dalam $t$ ini, maka tidak ada nilai $t$ yang memenuhi, sehingga nilai $x$ , $y$ , dan $z$ bilangan bulat positif juga tidak ada yang memenuhi sistem persamaan atau kita sebut himpunan kosong.
Jadi, tidak ada nilai $x, y,$ dan $z$ bilangan bulat positif yang memenuhi sistem persamaan contoh 7.